ディオファントスの墓碑に刻まれた問題を解いてみよう！

前回の記事でディオファントスについて紹介しましたが、その中でディオファントスの墓碑に刻まれた問題にふれました。

「彼の人生の6分の1を少年時代として過ごし、その後12分の1の期間を青年として過ごした。さらに人生の7分の1を独身で過ごし、その5年後に息子が生まれた。息子は、彼の人生の半分を生きた後に亡くなった。そして4年後、彼もまたこの世を去った。」

というものです。今回はこの問題を一緒に解いてみませんか？

方程式の立て方

ディオファントスの生涯を $x$ 年とすると、次の条件を方程式にまとめられます：

1. 彼の人生の6分の1を少年期に費やした → $\frac{x}{6}$
2. さらに人生の12分の1で髭をたくわえた → $\frac{x}{12}$
3. 人生の7分の1を過ごして結婚した → $\frac{x}{7}$
4. 結婚して5年後に息子が生まれた → $5$
5. 息子はディオファントスの人生の2分の1しか生きなかった → $\frac{x}{2}$
6. 息子が亡くなってからディオファントスは4年後に亡くなった → $4$

これらをまとめて、ディオファントスの全生涯を表す方程式を作ります。

$$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$$

方程式の解法

この方程式を解くために、すべての項を整理していきます。

1. 両辺から $x$ を引きます。

$$x - \left( \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} \right) = 9$$

2. 分母の最小公倍数を見つけて、共通の分母にします。6、12、7、2の最小公倍数は84です。

$$x - \left( \frac{14x}{84} + \frac{7x}{84} + \frac{12x}{84} + \frac{42x}{84} \right) = 9$$

3. すべての分数を一つにまとめます。

$$x - \frac{75x}{84} = 9$$

4. $x$ を一つにまとめます。

$$\frac{84x - 75x}{84} = 9$$

$$\frac{9x}{84} = 9$$

5. 両辺を9で割ります。

$$\frac{x}{84} = 1$$

6. 両辺に84を掛けます。

$$x = 84$$

解

ディオファントスが亡くなった時の年齢は 84歳 です。